从自然底数谈起,把飞蛾扑火和太阳系的运行

关于如何应对《三体》中的“二向箔”降维打击的梗，就是把自己变成一个f(x)=e^x的函数。因为无论对f(x)求导多少次，结果都是：f(x)。所以，根本不存在降维（求导一次降幂一次）的担心。e就是传说中的自然底数，关于e的解释有很多种，以下这种是最直观的。在原文《AnIntuitiveGuideToExponentialFunctionse》中有很直观的图，只要理解了这个例子，e的含义就明白了。假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的%！银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元，银行发善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(红圆)，1年存款余额=2.25元，假设银行超级实在，每4个月就付利息，利息生利息(下图红圆、紫圆)，年底的余额≈2.37元，假设银行人品爆发，一年天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.元，假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共秒，利滚利的余额≈2.元，这个数越来越接近于e了！我们和圆周率再做个对比：多边形的边数和利滚利的次数是相似的。对角线为1的n边等边形，n趋于无穷，周长就无限接近于π，即π是周长的最大值。年利率为1（%）的1元存款，利滚利的次数n趋于无穷，存款就无限接近e，即e是存款的最大值。换种表述方法：每个完美的圆，其周长都是π的倍数；每个理想的存款，其余额都是e的倍数。这里停一停，你好好体会一下。关于e和π，涉及到最完美的公式：欧拉公式，简单来理解就是以1为半径的圆周，e^(πi)相当于走了半周，π=1Xπ，相当于圆周上的点，绕着圆周走过的距离。现在我要了解的是关于e的黄金曲线，我们知道二维坐标系除了直角坐标系外，还有一种常用的是极坐标系，如下图：我们把指数函数e^x换成极坐标，就变成了e^θ，θ是点与极轴的夹角theta。θ，英文：theta。这时的指数函数就会变成下图的样子，这个螺线叫对数螺线（Logarithmicspiral），又叫等角螺线。之所以叫等角螺线，是因为在极坐标中，螺线和射线的夹角始终是一个固定夹角，如下图所示，蓝线每次穿过射线时，其夹角是固定的，也就是等角，这种特性很重要。注意，这种黄金曲线是方程f（x）=e^θ的曲线，它和斐波那契数列画出来的曲线是不同的，只是类似，相近。斐波那契数列指的是这样一个数列“0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,,，，，，，，，，，，，...”这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。例如：1+1=21+2=32+3=5……34+55=89……用这些数画出来的半圆，可以拼接成下面的螺线形状，这就是斐波那契螺线。实际上，斐波那契螺线仅仅是对一种叫黄金螺线（Goldenspiral）的近似，黄金螺线是一种内涵黄金分割比例的对数螺线f（x）=e^θ，下图红色的才是黄金曲线，绿色的是“假黄金螺线”（斐波那契螺线），近似却不重合。很多科学家发现对数螺线f（x）=e^θ在自然界中广泛存在。从大如星系、台风，到小如花朵、海螺……宇宙中到处都是对数螺线f（x）=e^θ的身影，如下图：最经典的要数，飞蛾扑火模式了。亿万年来，夜晚活动的蛾子等昆虫都是靠月光和星光来导航，因为天体距离很远，这些光都是平行光，可以作为参照来做直线飞行。如下图所示，注意蛾子只要按照固定夹角飞行，就可以飞成直线，这样飞才最节省能量。自从有了点灯之后，其实有了灯火也是一样的原理的，也不怪点灯了。飞蛾依然按照自己的生理本能，沿着光线的同一角度飞行的时候，悲剧就发生了，如下图：现在，我们要说一个压轴的大问题，我们知道银河系的星云规则也是合乎黄金曲线的，上图给了图形。那么，围绕着银河系中心的太阳系，会不会也如一只飞蛾呢？会不会出现下图一样的情形呢？远离银河系中心，或者不断的接近银河系中心。如果有这个可能性，那么也是合乎黄金曲线，才是正解。这里也开了一个脑洞，大家不要笑话。本文由隐士申子源原创，欢迎

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